Question

【题目】对于定义域为I的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]I，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y=f（x）的“好区间”．
（1）设g（x）=loga（ax﹣2a）+loga（ax﹣3a）（其中a＞0且a≠1），求g（x）的定义域并判断其单调性；
（2）试判断（1）中的g（x）是否存在“好区间”，并说明理由；
（3）已知函数P（x）= （t∈R，t≠0）有“好区间”[m，n]，当t变化时，求n﹣m 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意： ，解得：ax＞3a，

①当a＞1时，x＞log3（3a），函数此时定义域D=（log3（3a），+∞）．

设x1＜x2，x1，x2∈D，

∵ ，∴0＜ ，0＜ ，

∴ ， ，

∴g（x2）＞g（x1）

故得函数g（x）在定义域D=（log3（3a），+∞）内是增函数．

②当0＜a＜1时，x＜log3（3a），函数此时定义域D=（﹣∞，log3（3a））．

同理可证g（x）在定义域D=（﹣∞，log3（3a））内是增函数

（2）解：假设g（x）存在“好区间”，由（1）可知m，n∈D（m＜n，

由新定义有： 关于x的方程在定义域D内有两个不等的实数根．

即（ax﹣2a）（ax﹣3a）=ax在定义域D内有两个不等的实数根．（*）

设t=ax，则（*）（t﹣2a）（t﹣3a）=t，即t2﹣（5a+1）t+6a2=0在（3a，+∞）内有两个不等的实数根，

令t2﹣（5a+1）t+6a2=P（t），

则 ，解得：a无解．

所以函数g（x）不存在“好区间”

（3）解：由题设，函数P（x）= = （t∈R，t≠0）有“好区间”[m，n]，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），

根据反比例的性质，函数P（x）= 在[n，m]上单调递增，

则 ，所以m，n是方程p（x）=x实数根．

即方程t2x2﹣（t2+t）x+1=0有同号的相异实数根．

∵mn= ＞0，mn同号，

∴△=（t2+t）﹣4t2＞0或t＜﹣3，解得：t＞1或t＜﹣3．

m﹣n= ，

当t=3，n﹣m得最大值

【解析】（1）根据对数的真数大于0，在讨论底数a与1的大小可得定义域．定义证明单调性．（2）根据定义域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立关系求解a的值即可判断．（3）根据定义域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立关系，转化为二次函数的问题配方求解最值．