Question

【题目】设，若存在常数，使得对任意，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界．

（1）设、，试判断、是否为有界集合，并说明理由；

（2）已知，记（）．若，

，且为有界集合，求的值及的取值范围；

（3）设均为正数，将中的最小数记为．是否存在正数，使得为有界集合， 均为正数的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）为有界集合； 不是有界集合．（2）满足题设的实数的值为，且实数的取值范围是．（3）

【解析】试题分析：（1）根据有界定义，可知有界， 无界（2）当， 有界，当时，用数学归纳法可得，故为有界集合，当时， ，

由累加法得，故不是有界集合（3）不妨设若，可证得；若， ，所以有上界，

试题解析：（1）对于，由得，解得， 为有界集合；

显然不是有界集合．

（2）记，则．

若，则， ，即，且，从而．

（ⅰ）当时， ，所以，从而为有界集合．

（ⅱ）当时，由， ，显然，此时，利用数学归纳法可得，故为有界集合．

（ⅲ）当时， ， ，即，

由累加法得，故不是有界集合．

因此，当，且时， 为有界集合；当，且时， 不是有界集合；

若，则，即，又（），即（）．于是，对任意，均有，即（），再由累加法得，故不是有界集合．

综上，当，且时， 为有界集合；当，且时， 不是有界集合；

当 ()时， 不是有界集合．

故，满足题设的实数的值为，且实数的取值范围是．

（3）存在．不妨设．若，则，且．故 ，

即；

若，则，即，又，故，又 ，

即 ，因此， 是有界集合的一个上界．

　　下证：上界不可能出现．

假设正数出现，取， ，则，

此时，

（*）

由式（*）可得，与是的一个上界矛盾！．

综上所述，满足题设的最小正数的值为．