Question

【题目】定义：设为上的可导函数，若为增函数，则称为上的凸函数.

（1）判断函数与是否为凸函数；

（2）设为上的凸函数，求证：若， ，则恒有成立；

（3）设， ， ，求证： .

Answer 1

【答案】（1）不是， 是；（2）详见解析（3）详见解析

【解析】试题分析：（1）由函数的导函数是否为增函数可得（2）先证明n=2时，不等式成立，再通过数学归纳法证明时，不等式成立。（3）令， ， ，即证：（）成立，由（1）得为凸函数，而，即证。

试题解析：（1）因为的导函数不是增函数，所以不是凸函数， 是；

（2）时，即证： 且时，

不防设， ，令

因为

且时递增函数，所以，即为单调递增函数，

所以，即；

假设时，结论成立，

即， ， ， ，有成立，

则时， ， ， ， ，有

所以时，结论也成立，

综合以上可得，原结论成立.

（3）令， ， ，即证：（）

成立，

由（1）得为凸函数，而，

有

而，同理有：

，

则成立，得证.