Question

【题目】已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．
（1）写出a1 ， a2 ， a3 ， 并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1，时S1+a1=2a1=3

∴a1=

当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5

∴a2= ，

同样令n=3，则可求出a3=

∴a1= ，a2= ，a3=

猜测an=2﹣

（2）解：①由（1）已得当n=1时，命题成立；

②假设n=k时，命题成立，即ak=2﹣ ，

当n=k+1时，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，

且a1+a2+…+ak=2k+1﹣ak

∴2k+1﹣ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，

∴2ak+1=2+2﹣ ，即ak+1=2﹣ ，

即当n=k+1时，命题成立．

根据①②得n∈N+，an=2﹣ 都成立．

【解析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1 ， a2 ， a3 ， 然后仔细观察，总结规律，猜测an的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即ak=2﹣ ，当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2﹣ ，当n=k+1时，命题成立．故an=2﹣ 都成立．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式和数学归纳法的定义的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题．