Question

【题目】对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A.f（a）+f（b）＜2f（1）
B.f（a）+f（b）≤2f（1）
C.f（a）+f（b）≥2f（1）
D.f（a）+f（b）＞2f（1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由（x﹣1）f′（x）≥0可以得知，
若（x﹣1）f′（x）＞0，则有以下两种情况：
①当x＞1时，有f′（x）＞0；
②当x＜1时，有f′（x）＜0，
∴可以得知当x＞1时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减，
∵a＞b＞1，
∴f（a）＞f（b）＞f（1）
∴f（a）+f（b）＞2f（1），
而当（x﹣1）f′（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），
∴f（a）+f（b）=2f（1），
综上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），
故选：C．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．