Question

【题目】双曲线C的中心在原点，右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

【答案】
（1）解：设双曲线的方程是 ，则 ， ．

又∵c2=a2+b2，∴b2=1， ．

所以双曲线的方程是3x2﹣y2=1．

（2）解：①由

得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，

由△＞0，且3﹣k2≠0，得 ，且 ．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，

所以 x1x2+y1y2=0．

又 ， ，

所以 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，

所以 ，解得k=±1．

【解析】（1）设双曲线的方程是 ，则 ， ．由此能求出双曲线的方程．（2）由 ，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得 ，且 ．设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），由以AB为直径的圆过原点，知 x1x2+y1y2=0．由此能够求出k=±1．