Question

【题目】已知函数f（x）=x2+mx﹣4在区间[﹣2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值．
（1）求实数m的所有取值组成的集合A；
（2）试写出f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值g（m）；
（3）设h（x）=﹣ x+7，令F（m）= ，其中B=RA，若关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2+mx﹣4在区间[﹣2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值，

∴函数在区间[﹣2，1]上是单调函数，

又∵函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣

∴必有﹣ ≥1，或﹣ ≤﹣2，解得m≥4或 m≤﹣2，

∴实数m的所有取值组成的集合A={m|m≥4或 m≤﹣2}

（2）解：当 m≥4时，﹣ ≤﹣2，函数f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，

∴函数f（x）的最大值g（m）=f（1）=m﹣3；

当m≤﹣2 时，﹣ ≥1，函数f（x）在区间[﹣2，1]上单调递减，

∴函数f（x）的最大值g（m）=f（﹣2）=﹣2m

（3）解：由题意可知F（m）= ，

关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根等价于y=F（m）的图象与y=a的图象有两个不同的交点，

作图可知实数a的取值范围为：a＞ 或1＜a＜4

【解析】（1）问题等价于函数在区间[﹣2，1]上是单调函数，由二次函数可得﹣ ≥1，或﹣ ≤﹣2，解得不等式即可；（2）分类讨论结合单调性可得：当 m≥4时g（m）=f（1）=m﹣3，当m≤﹣2时g（m）=f（﹣2）=﹣2m．（3）由题意可知F（m）= ，问题等价于y=F（m）的图象与y=a的图象有两个不同的交点，数形结合易得答案．
【考点精析】通过灵活运用集合的补集运算和二次函数在闭区间上的最值，掌握对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA={x|x∈U且x∈A};补集的概念必须要有全集的限制；当时，当时，；当时在上递减，当时，即可以解答此题．