Question

17、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）BD⊥PA，BD⊥AC?BD⊥平面PAC
（2）当a=4，取BC边的中点M，DM⊥AM?PM⊥DM
（3）PA⊥底面ABCD?DM⊥AM?M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，可求a

解答：（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC．
又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．
故当a=2时，BD⊥平面PAC．

（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN．
∵ABMN和DCMN都是正方形，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM．
又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM．

（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，
∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．

点评：本题是一道综合性题，在面面垂直与线面垂直，线线垂直之间来回互用，而这也是立体几何证明题的常见题型．