Question

已知函数f（x）=lg|x-1|，下列命题中所有正确的序号是

（2）（4）（5）

．
（1）函数f（x）的定义域和值域均为R；
（2）函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
（3）函数f（x）的图象关于y轴对称；
（4）函数f（x+1）为偶函数；
（5）若f（a）＞0则a＜0或a＞2．

Answer 1

分析：由函数f（x）=lg|x-1|求得定义域为{x|x≠1}≠R，故（1）不正确． 根据复合函数的单调性可得（2）正确．
由于函数f（x）的 定义域不关于原点对称，故函数f（x）不具有奇偶性．由于函数f（x+1）=lg|x|，是偶函数，故（4）正确．由f（a）＞0，可得|a-1|＞1，解得a＜0或a＞2，故（5）正确．

解答：解：∵函数f（x）=lg|x-1|，故有x-1≠0，x≠1，故定义域为{x|x≠1}≠R，故（1）不正确．
由函数y=|x-1|在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，可得
函数f（x）=lg|x-1|在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故（2）正确．
由于函数f（x）的 定义域不关于原点对称，故函数f（x）不具有奇偶性，故（3）不正确．
由于函数f（x+1）=lg|x|，其图象关于y轴对称，故是偶函数，故（4）正确．
由f（a）＞0，则有lg|a-1|＞0，故|a-1|＞1，
∴a-1＞1 或a-1＜-1，
∴a＜0或a＞2，故（5）正确，
故答案为（2）（4）（5）．

点评：本题主要考查对数函数的定义域、单调性和特殊点，对数函数的图象和性质，属于中档题．