Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+a满足条件，且方程f（x）=7x+a有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（0＜m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为 二次函数f（x）=ax²+bx+a满足条件，
所以f（x）=ax²+bx+a=，
∴
又因为方程f（x）=7x+a有连个相等的实数根，即有两个相等的实数根．
所以△=-4a•0=0，
解得a=-2，
∴b=7
故f（x）=-2x²+7x-2．…（ （6分） ）
（2）存在．如图所示：
设 （x＞0），则当f（x）=g（x）时，即
化简得：2x³-7x²+2x+3=0，故（x-3）（2x²-x-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，x₃=（舍去）
因为，此时，，
所以，故取 m=，
当x=3时，f（x）_min=1，即．故取n=3
综上，取m=，n=3时，f（x）=-2x²+7x-2在[，3]上的值域是[1，]．…（14分）
分析：（1）根据二次函数f（x）=ax²+bx+a满足条件，可知函数的对称轴，利用方程f（x）=7x+a有两个相等的实根，可得其判别式为0，从而可求f（x）的解析式；
（2）构建函数 （x＞0），则当f（x）=g（x）时，即，利用，此时，，可知，故取 m=，当x=3时，f（x）_min=1，即．故取n=3，从而问题得解．
点评：本题重点考查函数的解析式，考查函数的定义域与值域，考查存在性问题，考查数形结合的思想，综合性强．