【题目】已知椭圆,过点作圆的切线,切点分别为.直线恰好经过的右顶点和上顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦, .
①设中点分别为,证明:直线必过定点,并求此定点坐标;
②若直线, 的斜率均存在时,求由四点构成的四边形面积的取值范围.
【答案】(1);(2) .
【解析】试题分析:(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标,然后求得直线的方程,由此可求得椭圆的方程;(2) ①直线斜率均存在,设出直线、的方程,然后分别联立椭圆方程,结合韦达定理求得点的坐标,再结合中点求得斜率,从而求得定点;②将①中直线的方程代入椭圆方程中,然后将的长度表示出来,再结合基本不等式即可求出范围.
试题解析:(1)过作圆的切线,一条切线为直线,切点.
设另一条切线为,即.
因为直线与圆相切,则,解得,所以切线方程为.
由,解得,直线的方程为,即.
令,则所以上顶点的坐标为,所以;令,则,
所以右顶点的坐标为,所以,所以椭圆的方程为.
(2) ①若直线斜率均存在,设直线,则中点. 先考虑的情形.
由得.
由直线过点,可知判别式恒成立.
由韦达定理,得,故,
将上式中的换成,则同理可得.
若,得,则直线斜率不存在. 此时直线过点.
下证动直线过定点.
② 当直线的斜率均存在且不为时,
由①可知,将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得,
所以
.
同理, ,
,
因为,当且仅当时取等号,
所以,即,
所以,由四点构成的四边形面积的取值范围为.
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【题目】已知点分别是椭圆的左右顶点, 为其右焦点, 与的等比中项是,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点的直线与该轨迹交于两点,若直线的斜率依次成等比数列,求的面积的取值范围.
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【题目】已知△ABC三边长构成公差为d(d≠0)的等差数列,则△ABC最大内角α的取值范围为( )
A. <α≤
B. <α<π
C. ≤α<π
D. <α≤
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【题目】为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品分微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜各1份,再从抽取的这5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列和数学期望.
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.840 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知函数,为偶函数,且当时,.记.给出下列关于函数的说法:①当时,;②函数为奇函数;③函数在上为增函数;④函数的最小值为,无最大值. 其中正确的是________.
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