Question

【题目】已知点分别是椭圆的左右顶点， 为其右焦点， 与的等比中项是，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过原点的直线与该轨迹交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：(1)利用， ， 是与的等比中项，得到，结合椭圆得离心率求解即可；(2)依题意知直线的斜率存在且不为0，设直线， ， ，联立直线和椭圆消去可得，利用判别式以及韦达定理，通过， ， 的斜率依次成等比数列，推出，求出， ，且，然后求出点到直线的距离，表示出三角形面积，求解范围即可.

试题解析：(1) ， ， 是与的等比中项，

∴，

∴，又，解得，

∴椭圆的方程为.

(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线， ， ，

联立直线和椭圆，消去得， ，

由题意可知， ，

即，

且， ，

又直线， ， 的斜率依次成等比数列，所以，

将， 代入并整理得，

因为， ， ，且，

设为点到直线的距离，则有， ，

∴，

∴三角形面积的取值范围为.