Question

【题目】已知函数f（x）=x+ +lnx，a∈R． （Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数g（x）=f'（x）﹣x的零点个数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=x+ +lnx（x＞0）， f′（x）=1﹣ + = ，
f（x）在x=1处取得极小值，
即有f′（1）=0，解得a=2，
经检验，a=2时，f（x）在x=1处取得极小值．
则有a=2；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ + = ，x＞0，
f（x）在区间（1，2）上单调递增，
即为f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，
即a≤x2+x在区间（1，2）上恒成立，
由x2+x∈（2，6），
则a≤2；
（Ⅲ）g（x）=f′（x）﹣x=1﹣ + ﹣x，x＞0，
令g（x）=0，则a=﹣x3+x2+x，
令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，
则h′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），
当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）在（0，1）递增；
当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）递减．
即有h（x）的最大值为h（1）=1，
则当a＞1时，函数g（x）无零点；
当a=1或a≤0时，函数g（x）有一个零点；
当0＜a＜1时，函数g（x）有两个零点
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（1）=0，即可解得a，注意检验；（Ⅱ）由条件可得，f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到a的范围；（Ⅲ）令g（x）=0，则a=﹣x3+x2+x，令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，求出导数，求得单调区间和最值，结合图象对a讨论，即可判断零点的个数．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．