Question

已知f(x)=(x

1

k

+x)n，且正整数n满足

C

2 n

=

C

6 n

，A={0，1，2，…n}．
（1）求n；
（2）若i，j∈A，是否存在j，当i≥j时，

C

i n

≤

C

j n

恒成立．若存在，求出最小的j，若不存在，试说明理由：
（3）k∈A，若f（x）的展开式有且只有6个无理项，求k．

Answer 1

分析：（1）利用组合数的性质由

C

2 n

=

C

6 n

可求得n；
（2）由题意可知，存在展开式中最大二项式系数满足条件，从而可求得j；
（3）利用二项展开式的通项公式T_r+1=

C

r 8

(x

1

k

)8-r•x^r即可求得k．

解答：解：（1）由

C

2 n

=

C

6 n

可知n=8…3分
（2）存在展开式中最大二项式系数满足条件，又展开式中最大二项式系数为

C

4 8

，
∴j=4…9分
（3）展开式通项为T_r+1=

C

r 8

(x

1

k

)8-r•x^r=

C

r 8

x

8-r

k

+r，分别令k=1，2，3…8，
检验得k=3或4时8-r是k的整数倍的r有且只有三个．
故k=3或k=4…16分

点评：本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式及二项式系数，考查转化与分析解决问题的能力，属于难题．