Question

已知函数f（x）=ax-（2a+1）lnx-

2

x

，g（x）=-2alnx-

2

x

，其中a∈R
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若存在x∈[

1

e

，e²]，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求得x=1处的导数值，进一步求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求出原函数的导函数f′(x)=a-

2a+1

x

+

2

x2

=

a(x-2)(x- 1 a )

x2

．然后分a=

1

2

，a＞

1

2

，0＜a＜

1

2

三种情况求解函数的单调区间；
（3）把f（x）≥g（x）转化为ax-lnx≥0，分离参数a得a≥

lnx

x

，构造函数h(x)=

lnx

x

，求函数h（x）在
[

1

e

，e²]上的最小值得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=2x-5lnx-

2

x

，
f′(x)=2-

5

x

+

2

x2

，f′（1）=-1，
又f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=-1×（x-1），
即x+y-1=0；
（2）f′(x)=a-

2a+1

x

+

2

x2

=

a(x-2)(x- 1 a )

x2

．
当a=

1

2

时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞

1

2

时，当x∈(0，

1

a

)，(2，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈(

1

a

，2)时，f′（x）＜0，
f（x）为减函数；
当0＜a＜

1

2

时，当x∈(0，2)，(

1

a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈(2，

1

a

)时，f′（x）＜0，
f（x）为减函数；
（3）f（x）≥g（x）等价于ax-（2a+1）lnx-

2

x

≥-2alnx-

2

x

，即ax-lnx≥0，
分离参数a得，a≥

lnx

x

．
令h(x)=

lnx

x

，
若存在x∈[

1

e

，e²]，使不等式f（x）≥g（x）成立，
即a≥h（x）_min．
h′(x)=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．
而h（

1

e

）=-e，h（e²）=

2

e2

．
∴h（x）在[

1

e

，e²]上的最小值为-e，
∴a≥-e．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．