Question

17、函数f（x）=x³-3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（1）求a、b的值；
（2）方程f（x）=c有三个不同的实数解，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数在切点处的导数值是曲线的斜率及切点在曲线上，令f′（1）=-12，f（1）=-11，列出方程求出a，b的值．
（2）将a，b的代入f（x），通过导函数求f（x）的单调性及极值，结合其图象，求出c的范围．

解答：解：（1）f（x）=x³-3ax²+3bx，f'（x）=3x²-6ax+3b，f'（1）=3-6a+3b=-12，f（1）=1-3a+3b=-11，
∴a=1，b=-3．
（2）f（x）=x³-3x²-9x，f'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
当x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，3），f'（x）＜0；
x∈（3，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取极大值5，在x=3时取极小值-27．
f（x）的大致图象如下
根据三次函数f（x）的图象得f（x）=c有三个不同的实数解时，c的取值范围是（-27，5）．

点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、考查利用导数求函数的单调性与极值同时利用函数的性质画出函数的草图、考查数形结合的数学思想方法．