Question

已知函数，其中且m为常数．
（1）试判断当时函数在区间上的单调性，并证明；
（2）设函数在处取得极值，求的值，并讨论函数的单调性．

Answer 1

（1）在区间上为增函数，证明见解析；（2），在上单调递减，在单调递增．

试题分析：（1）首先求导函数，然后根据区间判断的符号即可证明；（2）利用函数的极值点是导函数的零点通过建立方程可求得的值，然后再通过判断的符号确定单调区间．
（1）当时，，求导数得：．
∵当时，，∴ ，
∴当时函数在区间上为增函数．
（2）求导数得：．
由是的极值点得，∴．
于是，定义域为，，
显然函数在上单调递增，且，
因此当时，；时，，
所以在上单调递减，在单调递增．