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一个如图所示的不规则形铁片,其缺口边界是口宽4分米,深2分米(顶点至两端点所在直线的距离)的抛物线形的一部分,现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形.
(1)若保持其缺口宽度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值;
(2)若保持其缺口深度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值.
(1)6,(2).

试题分析:(1)由题意得:保持其缺口宽度不变,需在A,B点处分别作抛物线的切线. 以抛物线顶点为原点,对称轴为轴,建立平面直角坐标系,则,从而边界曲线的方程为.因为抛物线在点处的切线斜率,所以,切线方程为,与轴的交点为.此时梯形的面积平方分米,即为所求.(2)若保持其缺口深度不变,需使两腰分别为抛物线的切线. 设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小.此时,切线方程为,其与直线相交于,与轴相交于.此时,梯形的面积.故,当时,面积有最小值为
解:(1)以抛物线顶点为原点,对称轴为轴,建立平面直角坐标系,则
从而边界曲线的方程为
因为抛物线在点处的切线斜率
所以,切线方程为,与轴的交点为
此时梯形的面积平方分米,即为所求.
(2)设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小.
此时,切线方程为
其与直线相交于
轴相交于
此时,梯形的面积.……11分
(这儿也可以用基本不等式,但是必须交代等号成立的条件)
=0,得
时,单调递减;
时,单调递增,
故,当时,面积有最小值为
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