Question

（2007•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值

1

14

．

Answer 1

分析：解法一：利用柯西不等式即可得出．
解法二：利用向量的数量积的性质即可得出．

解答：解：解法一：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3³），
∴x2+y2+z2≥

1

14

，
当且仅当

x

1

=

y

2

=

z

3

，x+2y+3z=1，即x=

1

14

，y=

1

7

，z=

3

14

时取等号．
即x²+y²+z²的最小值为

1

14

．
解法二：设向量

a

=(1，2，3)，

b

=(x，y，z)，
∵|

a

•

b

|≤|

a

| |

b

|，∴1=x+2y+3z≤

12+22+32

x2+y2+z2

，
∴x2+y2+z2≥

1

14

，当且仅当

a

与

b

共线时取等号，即

x

1

=

y

2

=

z

3

，x+2y+3z=1，解得x=

1

14

，y=

1

7

，z=

3

14

时取等号．
故答案为

1

14

．

点评：熟练掌握向量的数量积的性质和正确理解柯西不等式是解题的关键．