Question

【题目】已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：，

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；

【解析】

（1）求出导数，讨论a的取值范围，求出单调区间；

（2）由（1）得函数函数在内的最小值为，根据题意转化为在恒成立即可.

（1）,因为，

当时，，函数在（0，1）内单调递减，在内单调递增；

当时，即，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，，函数在内单调递增；

当时，即，函数在（0，1）内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

综上：当时，在（0，1）内单调递减，在内单调递增；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，在内单调递增；

当时，在（0，1）内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（2）当时，由（1）可得函数在内单调递减，在内单调递增，

函数在内的最小值为，

要证：不等式成立，

即证：，

即证：，，

即证：，

令，

则函数在内单调递减，，因为，

则，即当时，成立

则当时，成立.