Question

14．解不等式（m+1）x²-4x+1≤0．

Answer 1

分析 对m与判别式分类讨论，利用一元二次不等式与一元二次方程的解法即可得出．

解答 解：①当m=-1时，不等式化为-4x+1≤0，解得x$≥\frac{1}{4}$，其解集为$\{x|x≥\frac{1}{4}\}$．
②当m≠-1时，△=16-4（m+1）=4（3-m）．
当m＞3时，△＜0，m+1＞0，此时不等式的解集为∅．
③当m=3时，△=0，不等式化为（2x-1）²≤0，此时不等式的解集为{x|x=$\frac{1}{2}$}．
④当-1＜m＜3时，1+m＞0，△＞0，由（m+1）x²-4x+1=0，解得x=$\frac{2±\sqrt{3-m}}{m+1}$．
∴此时不等式的解集为{x|$\frac{2-\sqrt{3-m}}{m+1}$≤x≤$\frac{2+\sqrt{3-m}}{m+1}$}．
⑤当m＜-1时，1+m＜0，△＞0，由（m+1）x²-4x+1=0，解得x=$\frac{2±\sqrt{3-m}}{m+1}$．
∴此时不等式的解集为{x|x≤$\frac{2-\sqrt{3-m}}{m+1}$，或$\frac{2+\sqrt{3-m}}{m+1}$≤x}．

点评 本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的解法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．