Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-

3

y=4相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2

3

，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆O的半径为r，由圆心为原点（0，0），根据已知直线与圆O相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到已知直线的距离d，即为圆的半径r，由圆心和半径写出圆O的标准方程即可；
（Ⅱ）设出直线方程，利用点到直线的距离以及垂径定理求出直线方程中的参数，即可得到直线方程．

解答：（本题满分14分）
（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x-

3

y=4的距离，
即r=

4

1+3

=2．…（3分）
得圆O的方程为x²+y²=4．                     …（6分）
（2）由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0．…（8分）
则圆心O到直线MN的距离d=

|m|

5

．                …（10分）
由垂径分弦定理得：

m2

5

+(

3

)2=22，即m=±

5

．…（12分）
所以直线MN的方程为：2x-y+

5

=0或2x-y-

5

=0．…（14分）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点距离公式，考查计算能力．