Question

7．求函数值域：
（1）y=$\frac{2x}{5x+1}$；
（2）y=2x+1-$\sqrt{7-4x}$．

Answer 1

分析 （1）可将原函数变成y=$\frac{2}{5}-\frac{2}{5（5x+1）}$，这样便可看出y$≠\frac{2}{5}$，这便得出了原函数的值域；
（2）通过移项，再两边平方便可由原函数得到4x²+4（2-y）x+y²-2y-6=0，看成关于x的一元二次方程，方程有解，从而有△≥0，解不等式即可得出原函数的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{2x}{5x+1}=\frac{\frac{2}{5}（5x+1）-\frac{2}{5}}{5x+1}=\frac{2}{5}-\frac{2}{5（5x+1）}$；
∵$\frac{2}{5（5x+1）}≠0$；
∴$y≠\frac{2}{5}$；
∴原函数的值域为{y|y$≠\frac{2}{5}$}；
（2）将原函数变成$y-2x-1=-\sqrt{7-4x}$，两边平方并整理得：
4x²+（8-4y）x+y²-2y-6=0，可将该式看成关于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=（8-4y）²-16（y²-2y-6）≥0；
解得y≤5；
∴原函数的值域为（-∞，5]．

点评 考查函数值域的概念，分离常数求函数值域的方法，带根号函数的处理方法：两边平方去根号，以及一元二次方程有解时判别式△的取值情况．