Question

14．已知函数f（x）=2e^x+2ax-a²，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若x≥0时，f（x）≥x²-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间，从而求出函数的极值；
（2）先构造函数g（x）=f（x）-x²+3，求导后再构造函数h（x）=2（e^x-1），根据导数和函最值关系，分类讨论，当a≥-1时，求出a的范围，当a＜1时，?x₀＞0，使h（x₀）=0，x∈（0，x₀）时，g（x）单调递减，x∈（x₀，+∞）时，g（x）单调递增，求出函数的最值，再构造函数M（x）=x-e^x，0＜x≤ln3，求导，即可求出a的范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=2e^x+2a，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，
当a＜0时，当f′（x）＞0，即x＞ln（-a）时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x＜ln（-a）时，函数单调递减，
综上所述：当a≥0时，f（x）在R上单调递增，函数无极值；
当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）单调递增，
f（x）_极小值=f（ln（-a））=-2a+2aln（-a）-a²；
（2）令g（x）=f（x）-x²+3=2e^x-（x-a）²+3，x≥0，
∴g′（x）=2（e^x-x+a），再令h（x）=2（e^x-x+a），
h′（x）=2（e^x-1）≥0，
∴h（x）在[0，+∞）单调递增，且h（0）=2（a+1），
当a≥-1时，g′（x）≥0，即函数g（x）在[0，+∞）单调递增，
从而须满足g（0）=5-a²≥0，解得-$\sqrt{5}$≤a≤$\sqrt{5}$，
又a≥-1，∴-1≤a≤$\sqrt{5}$，
当a＜-1时，则?x₀＞0，使h（x₀）=0，且x∈（0，x₀）时，h（x）＜0，
即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，
x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，
g（x）_min=g（x₀）=2ex0-（x₀-a）²+3≥0，
又h（x₀）=2（ex0-x₀-a）=0，
从而e^x₀=x₀-a，即a=x₀-e^x₀，
令M（x）=x-e^x，0＜x≤ln3，
∴M′（x）=1-e^x＜0，
∴M（x）在（0，ln3]上单调递减，
则M（x）≥M（ln3）=ln3-3，
又M（x）＜M（0）=1，
∴ln3-3≤a＜-1，
综上所述ln3-3≤a≤$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的几何意义，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，属于难题．