Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求证：f（x）的图象与x轴无交点；
（II）若方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x₁，x₂，求证：|x1-x2|≤2

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Answer 1

分析：（I）由题意因为二次函数f（x）=ax²+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，所以先求二次函数导函数，然后有二次函数求出恒成立时，f（x）的图象与x轴无交点；
（II）先求出函数的导函数，因为方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x₁，x₂，等价于对应的二次函数的判别式大于0，利用根与系数的关系即可．

解答：解：（I）∵f^′（x）=2ax+b  于是f（x）-f^′（x）=ax²+（b-2a）x+c-b
∵对于一切实数x，都有f（x）≥f^′（x）恒成立，
故a＞0且△₁=（b-2a）²-4a（c-b）=b²-4ac+4a²≤0，
于是b²-4ac-4a²＜0，
所以f（x）的图象与x轴无交点．
（II）证明：∵f（x）-2f^′（x）=ax²+（b-4a）x+c-2b=0有两个不同的实数根x₁，x₂，
故△₂=（b-4a）²-4a（c-2b）=b²-4ac+16a²＞0，从而-16＜

b2-4ac

a2

≤-4，
有根与系数的关系知：

x1+x2=- b-4a a x1•x2= c-2b a

，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

b2-4ac

a

+16，于是0＜|x₁-x₂|²≤12，
即|x₁-x₂|≤2

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点评：此题主要考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，导数的应用等基本知识，同时考查运算能力以及数形结合，函数思想等数学思想方法．