Question

【题目】抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3 ， 假定A1正面向上的概率为 ，A2正面向上的概率为 ，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．
（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；
（2）令an=（2n﹣1）cos（ Eξ）（n∈N+），求数列{an}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，

P（ξ=0）= （1﹣t）= ，

P（ξ=1）= （1﹣t）+ （1﹣t）+ t= ，

P（ξ=2）= （1﹣t）+ t+ t= ，

P（ξ=3）= t= ，

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

数学期望Eξ=0 +1 +2 +3 = ；

（2）解：由（1）可知an=（2n﹣1）cos（ ）

=（2n﹣1）cos（nπ）

=（﹣1）n（2n﹣1），

当n为偶数时，Sn=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）]

=2

=n；

当n为奇数时，Sn=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣5）+（2n﹣3）]+[﹣（2n﹣1）]

=2 ﹣（2n﹣1）

=n﹣1﹣2n+1

=﹣n；

综上所述，Sn=（﹣1）nn．

【解析】（1）通过求出ξ=0、1、2、3时相应的概率，进而求出ξ的分布列及数学期望Eξ；（2）通过（1）、化简可知an=（﹣1）n（2n﹣1），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可求出Sn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对离散型随机变量及其分布列的理解，了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．