Question

已知曲线C：y=x³-3x²+2x
（1）求曲线C上斜率最小的切线方程．
（2）过原点引曲线C的切线，求切线方程及其对应的切点坐标．

Answer 1

（1）y'=3x²-6x+2=3（x-1）²-1，
所以，x=1时，y'有最小值-1，（3分）
把x=1代入曲线方程得：y=0，所以切点坐标为（1，0），
故所求切线的斜率为-1，其方程为：y=-x+1．            
（2）设切点坐标为M（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
切线的斜率为3x₀²-6x₀+2，
故切线方程为y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），（9分）
因为切线过原点，所以有-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（-x₀），
即：x₀³-3x₀²+2x₀=x₀（3x₀²-6x₀+2），
解之得：x₀=0或x0=

3

2

．                                  
所以，切点坐标为M（0，0）或M(

3

2

，-

3

8

)，
相应的切线方程为：y=2x或y+

3

8

=-

1

4

(x-

3

2

)
即切线方程为：2x-y=0或x+4y=0．