Question

（2012•张掖模拟）已知函数f（x）=

1

2

x²+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e为自然对数的底数，常数a≠0）．
（1）若对任意x＞0，g（x）≤1恒成立，求正实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取最大值时，试讨论函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的单调性；
（3）求证：对任意的n∈N^*，不等式ln

2n

n!

＜

1

12

n³-

5

8

n²+

31

24

n成立．

Answer 1

分析：（1）由题意，ax（2-lnx）≤1对任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤

1

a

对任意x＞0恒成立，确定左边的最大值，即可求得正实数a的取值范围；
（2）求导函数，令导数的正负，即可得到函数的单调性；
（3）先证明x²-6x+8≥-4lnx+4ln2，从而k²-6k+8≥-4lnk+4ln2，对任意k∈N₊成立，叠加，即可证得结论．

解答：（1）解：由题意，ax（2-lnx）≤1对任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤

1

a

对任意x＞0恒成立
令h（x）=x（2-lnx），则h′（x）=1-lnx＞0 得0＜x＜e
故h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，-----------------------（2分）
∴h（x）_max=h（e）=e，∴e≤

1

a

，∴0＜a≤

1

e

．
故所求正实数a的取值范围是（0，

1

e

]．---------（1分）
（2）解：由（1）知a=

1

e

，此时f（x）=

1

2

x²-3x+2lnx，f′（x）=

x2-3x+2

x

＞0得x＜1或x＞2，
故f（x）在区间（

1

e

，1），（2，e）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减．----------（3分）
（3）证明：由（2）知f（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，
故当x≥1时，

1

2

x²-3x+2lnx≥2ln2-4，即x²-6x+8≥-4lnx+4ln2．
从而k²-6k+8≥-4lnk+4ln2，对任意k∈N₊成立．----------------------------（2分）
于是

n

k=1

（k²-6k+8）≥

n

k=1

（-4lnk+4ln2），
即

n(n+1)(2n+1)

6

-

6n(n+1)

2

+8n＞-4lnn!+8n＞-4lnn!+4nln2
即

2n3-15n2-17n

6

+8n＞4ln

2n

n!

．
即ln

2n

n!

＜

1

12

n³-

5

8

n²+

31

24

n成立-------------（4分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的单调性是关键．