Question

（2008•江苏二模）已知数列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差数列．
（Ⅰ）设b_n=（n+1）a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）（仅理科做） 若a_n-b_n≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）(n+2)an+1=

1

2

(n+1)an+

n

2

，由b₁=2a₁-1+2=-1，知

bn+1

bn

=

(n+2)an+1-(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由bn=-(

1

2

)n-1，知(n+1)an-n+2=-(

1

2

)n-1．由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由an-bn=

n

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

，知k ≥ 

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

．设cn=

1

n+1

(

1

2

)n-1，dn=

n-2

n(n+1)

，en=

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

，则c_n 随着n的增大而减小，dn+1-dn=

n-1

(n+1)(n+2)

-

n-2

n(n+1)

=

4-n

n(n+1)(n+2)

，所以n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，n≥5时，e_n随着n的增大而减小． 由此能求出实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）证明：(n+2)an+1=

1

2

(n+1)an+

n

2

，…1分
∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分）

bn+1

bn

=

(n+2)an+1-(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

，
∴数列{b_n}是等比数列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=-(

1

2

)n-1，即(n+1)an-n+2=-(

1

2

)n-1．
∴an=-

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵an-bn=

n

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

，
∴a_n-b_n≤kn，即k ≥ 

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

．
设cn=

1

n+1

(

1

2

)n-1，dn=

n-2

n(n+1)

，en=

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

，
则c_n 随着n的增大而减小，…8分
∵dn+1-dn=

n-1

(n+1)(n+2)

-

n-2

n(n+1)

=

4-n

n(n+1)(n+2)

，
∴n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，…10分
则n≥5时，e_n随着n的增大而减小． …
∵c₁=

1

2

，c₂=

1

6

，c₃=

1

16

，c₄=

1

40

，c₅=

1

96

，
d₁=-

1

2

，d₂=0，d₃=

1

12

，d₄=

1

10

，d₅=

1

10

，
∴e₁=0，e₂=

1

6

，e₃=

7

48

，e₄=

1

8

，e₅=

53

480

．
则e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=

1

6

最大．
∴实数k的取值范围k≥

1

6

． …13分．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．