Question

（理）如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ABC=90°，AB=5，BC=2，AD=8，异面直线AC₁与A₁D互相垂直．
（1）求直棱柱棱AA₁的长；
（2）若点M在线段A₁D上，AM⊥A₁D，求直线AD与平面AMC₁所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意建立空间直角坐标系写出点的坐标，即可得到有关向量的坐标，再利用异面直线AC₁与A₁D互相垂直，，进而得到答案．
（2）由（1）可得=0，即A₁D⊥AC₁，再结合题意可得：A₁D⊥平面AC₁M，可得∠MAD即为直线AD与平面AMC₁所成的角，再利用题中的条件与解三角形的有关知识可得答案．
解答：解：（1）因为在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=90°，
所以AD，AB，AA₁三条直线两两垂直，
所以以A为坐标原点以AB、AD、AA₁所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立直角坐标系，设棱AA₁的长为a，（a＞0）
则有A （0，0，0），B （5，0，0），C（5，2，0），D（0，8，0），A₁（0，0，a），B₁（5，0，a），C₁（5，2，a），D₁（0，8，a），
∴，，（3分）
又因为异面直线AC₁与A₁D互相垂直，
所以，（6分）
所以可得：a=4，
故棱AA₁的长为4．（8分）
（2）由（1）知=（0，8，-4），=（5，2，4），
所以=0，即A₁D⊥AC₁，
又因为AM⊥A₁D，AM∩AC₁=A，
所以A₁D⊥平面AC₁M，
所以∠MAD即为直线AD与平面AMC₁所成的角．（10分）
因为AA₁=4，AD=8，AM⊥A₁D，
所以AM=，
所以cos∠MAD=（12分）
所以直线AD与平面AMC₁所成的角的大小是arccos．（13分）
点评：本题主要考查利用向量证明线线垂直，进而得到线面垂直，并且考查了线面角的求解，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与向量之间的有关运算．