Question

4．已知锐角△ABC中，A=2B，AC=2，则BC的范围为（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• D． [2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 根据正弦定理和A=2B及二倍角的正弦公式化简得到BC=4cosB，根据锐角△ABC和A=2B求出B的范围，即可得到结论．

解答 解：∵△ABC是锐角三角形，C为锐角，
∴A+B≥$\frac{π}{2}$，由A=2B得到B+2B＞$\frac{π}{2}$，且A=2B＜$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
根据正弦定理$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，A=2B，
得到$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}=\frac{BC}{2sinBcosB}$，
即BC=4cosB∈（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），
则BC的取值范围为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．
故选：A．

点评 本题主要考查考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化简求值，利用正弦定理是解决本题的关键．