Question

15．已知函数f（x）=x²+x-1．
（1）求f（2），f（$\frac{1}{x}$）；
（2）若f（x）=5，求x的值；
（3）若f（x）≥f（a）对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接代入，求f（2），f（$\frac{1}{x}$）；
（2）由二次方程的解法，可得x的值；
（3）由题意可得a²+a-1≤x²+x-1对一切x∈R恒成立，求得右边函数的最小值，再由二次不等式的解法，可得a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+x-1，
∴f（2）=5，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-1；
（2）若f（x）=5，则x²+x-1=5，∴x=-3或2；
（3）f（x）≥f（a）对一切x∈R恒成立，
即为a²+a-1≤x²+x-1对一切x∈R恒成立，
由x²+x-1=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，取得最小值-$\frac{5}{4}$，
即有a²+a-1≤-$\frac{5}{4}$，
即为（a+$\frac{1}{2}$）²≤0，
又（a+$\frac{1}{2}$）²≥0，
即有（a+$\frac{1}{2}$）²=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$．
则实数a的取值范围为{-$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查二次方程和不等式的解法，考查不等式恒成立思想的运用，属于中档题．