Question

3．已知函数f（x-3）=log_a$\frac{x}{6-x}$（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当0＜a＜1时．求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）换元，令x-3=t，可求t的范围：-3＜t＜3，这样便得到f（t）=$lo{g}_{a}\frac{t+3}{3-t}$，从而得出f（x），并求f（-x），这样即可判断f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）=$lo{g}_{a}\frac{x+3}{3-x}$是由函数u=$\frac{x+3}{3-x}$和y=log_au复合而成，根据a的范围可判断y=log_au为减函数，从而判断$u=\frac{x+3}{3-x}$在（-3，3）上单调性，并求其单调区间便可得出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）令x-3=t，-3＜t＜3，则x=t+3；
f（t）=$lo{g}_{a}\frac{t+3}{3-t}$；
∴$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+3}{3-x}，-3＜x＜3$；
∴$f（-x）=lo{g}_{a}\frac{3-x}{3+x}=-lo{g}_{a}\frac{x+3}{3-x}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（2）令u=$\frac{x+3}{3-x}$=$\frac{-（3-x）+6}{3-x}$=$-1+\frac{6}{3-x}$，该函数在（-3，3）上为增函数；
又0＜a＜1；
∴函数log_au为减函数；
∴复合函数f（x）单调减区间为（-3，3）．

点评 考查换元法求函数解析式，奇函数的定义，以及根据奇偶函数的定义判断函数奇偶性的方法，复合函数的定义，对数函数的单调性，复合函数单调性的判断方法．