Question

【题目】设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为（ ）

A.B.2C.D.2

Answer 1

【答案】C

【解析】

判断PQ⊥MF1，则|PF1|＝QF1|，说明三角形PF1Q是等腰直角三角形，设|PF1|＝t，利用双曲线的定义求出|PF2|，在Rt△MF1F2中，结合勾股定理推出2a＝2c，即可求解双曲线C的离心率．

以PQ为直径的圆经过点F1，则，又，

可知PQ⊥MF1，则|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，

设|PF1|＝t，则|PQ|t，

由双曲线的定义可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，

则t＝4a，即t＝2a，则：|PF2|，

在Rt△MF1F2中，|MF1|2a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2a，

由勾股定理可知|F1F2|＝2a＝2c，

则双曲线C的离心率为：e．

故选：C．