Question

（本题10分）无论为任何实数，直线与双曲线恒有公共点.

（1）求双曲线的离心率的取值范围；

（2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，并且满足，求双曲线的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）联立直线方程和双曲线方程，整理方程为，直线与双曲线恒有交点，则恒成立，但需考虑的情况是否符合题意；（2）设出过双曲线的右焦点的直线方程，联立直线方程和双曲线方程，利用两个向量坐标的关系，可得，根据，可得

试题解析：（1）联立，得，

即

当时，，直线与双曲线无交点，矛盾

所以．所以．

因为直线与双曲线恒有交点，恒成立

即.所以，所以，

综上．

（2）,直线：，

，

所以

因为，所以，整理得，

因为，所以，，所以

所以双曲线.

考点：1、双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的相交问题.