Question

已知实数x，y满足y=x²-2x+2（-1≤x≤1），则

y+3

x+2

的最大值与最小值的和为

28

3

．

Answer 1

分析：先将函数化简，再利用换元法，进而可确定函数在定义域内为单调减函数，从而可求函数的最大值与最小值，故可得结论．

解答：解：∵y=x²-2x+2
∴

y+3

x+2

=

x2-2x+5

x+2

令x+2=t（1≤t≤3），则x=t-2
∴

y+3

x+2

=

t2-6t+13

t

=t+

13

t

-6
设f(t)=t+

13

t

-6，f′（t）=1-

13

t2

∴函数在[1，3]上，f′（t）＜0，函数为减函数
∴t=1时，函数取得最大值f（1）=8；t=3时，函数取得最小值f（3）=

4

3

∴

y+3

x+2

的最大值与最小值的和为

28

3

故答案为：

28

3

点评：本题重点考查函数的最值，考查函数的单调性，考查换元法的使用，有一定的综合性．