Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（2a+1）x²+（a²+a）x．若函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值．

Answer 1

分析 f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=[x-（a+1）]（x-a），由函数f（x）在x=1处取得极大值，可得f′（1）=-a（1-a）=0，解得a=0或a=1．对a分类讨论研究函数的单调性极值即可得出．

解答 解：f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=[x-（a+1）]（x-a），
∵函数f（x）在x=1处取得极大值，
∴f′（1）=-a（1-a）=0，解得a=0或a=1．
①当a=0时，f′（x）=x（x-1），
当x＞1或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
此时x=1是函数f（x）的极小值点，舍去．
②当a=1时，f′（x）=（x-2）（x-1），
当x＞2或x＜1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
此时x=1是函数f（x）的极大值点，满足条件．
综上可得：a=1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．