【题目】已知函数,
,
,其中
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对任意,总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)减区间为,增区间为
(2)
【解析】
(1)求导后,令导函数大于的解集即为增区间,令导函数小于
的解集即为减区间;
(2)问题等价于函数在
上的值域包含于函数
在
上的值域,再求解即可.
(1)函数的定义域为
,
,
令,解得
,令
,解得
,
函数
的减区间为
,增区间为
;
(2)依题意,函数在
上的值域包含于函数
在
上的值域,
由(1)可知,函数在
上单调递增,故值域为
,
由得
,
①当时,
恒成立,故函数
在
上单调递增,此时值域为
,故
不符合题意;
② 当
时,
的解集为
,
的解集为
,
故函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
且,
当
时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,此时值域为
,
则此时需要,即
,
当时,
不可能成立,故
不符合题意;
当
时,
在
上恒成立,则函数
在
上单调递减,
此时值域为,则
,解得
;
综上所述,实数a的取值范围为.
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【题目】如下图中、
、
、
、
、
六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有
种颜色可供选择,则共有_________种不同的染色方案.
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【题目】有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形
(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中
是以
为圆心、
的扇形,且弧
,
分别与边
,
相切于点
,
.
(1)当长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;
(2)当的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线与曲线
分别交于
两点(异于原点
),定点
,求
的面积.
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【题目】在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转,如图,小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为a的正三角形ABC 绕其中心O逆时针旋转到三角形A1B1C1,且.顺次连结A,A1,B,B1,C,C1,A,得到六边形徽标AA1BB1CC1 .
(1)当=时,求六边形徽标的面积;
(2)求六边形徽标的周长的最大值.
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【题目】如图,是圆
的直径,点
是圆
上异于
,
的点,直线
平面
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)记平面与平面
的交线为
,试判断直线
与平面
的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)设,求二面角
大小的取值范围.
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【题目】下列四个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;③直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.其中错误命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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