Question

已知函数y=f(x)满足f(x)=

(1)分别写出x∈［０,１)时y=f(x)的解析式f₁(x)和x∈［1,2)时y=f(x)的解析式f₂(x);并猜想x∈［n,n+1］,n≥-1,n∈Z时y=f(x)的解析式f _n+1(x)（用x和n表示）（不必证明）；

(2)当x=n+ (n≥-1,n∈Z)时，y=f _n+1(x)x∈［n,n+1）,(n≥-1,n∈Z)的图象上有点列A _n+1（x,f(x)）和点列B _n+1(n+1,f(n+1)),线段A _n+1B _n+2与线段B _n+1A _n+2的交点C _n+1,求点C _n+1的坐标（a _n+1(x),b _n+1(x)）;

(3)在前面（1）（2）的基础上，请你提出一个点列C _n+1(a _n+1(x),b _n+1(x))的问题，并进行研究，并写下你研究的过程.

Answer 1

解：(1)x∈［0,1)时，x-1∈［-1,0),

∴f₁(x)=f(x-1)+1=sinπ(x-1)+1=1-sinπx.

x∈［1,2)时，x-1∈［0,1),∴f₂(x)=f(x-1)+1=1-sinπ(x-1)+1=2+sinπx.

x∈［n,n+1),n≥-1,n∈Z时，

∴f _n+1(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=n+1+(-1) ⁿ⁺¹sinπx.

(2)当x=n+,A _n+1(n+,n),B _n+1(n+1,n+2),,=1,

=4,=4.

C _n+1是平行四边形A _n+1A _n+2B _n+2B _n+1的对角线的交点，C _n+1(n+,n+).

(3)第一类，例如：在（2）的条件下，点C _n+1与C _n+2之间具有怎样的数量关系.

解答：C _n+1C _n+2=2,

第二类，例如：在（2）的条件下，在C _n+1与C _n+2之间具有怎样的位置关系

解答：C _n+1与C _n+2在直线y=x+上.

第三类，例如：把（2）的条件x=n+改成x∈［n,n+1)时，点C _n+1a_n+1(x),b_n+1(x))的运动曲线是什么？

解答：

即y_c=只需写出一个区间段上即可.