Question

(本小题满分12分) 如图所示，等腰△ABC的底边AB=,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.

（Ⅰ）求V(x)的表达式；   
（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？

Answer 1

(1) V(x)== = ，(0<x<3)
(2) x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12

（1）由已知可得PE为四棱锥的高，四棱锥的底面积

 ，又，=，
=代入体积公式得，(0<x<3)；
（2）多项式函数利用导数研究其单调性可求得最值。
解：(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,
从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。
四棱锥的底面积 
而△BEF与△BDC相似，那么=，
==，
又   
则===
故四棱锥的体积V(x)== = ，(0<x<3)
(2) V’(x)=  ，(0<x<3)    令V’(x)=0得x=6
当x∈(0，6)时，V’(x)>0,V(x)单调递增；x∈(6，3)时V’(x)><0,V(x)单调递减；
因此x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12