Question

已知函数f（x）=2sinx+cosx，且g（x）=f（x）•（f′（x）+7sinx）
（1）当x∈[0，

π

2

]时，函数g（x）的值域；
（2）已知∠A是△ABC的最大内角，且g（A）=12，求∠A．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=2cosx-sinx，g（x）=（2sinx+cosx）（2cosx-sinx+7sinx）=5

2

sin（2x-

π

4

）+7，结合x∈[0，

π

2

]，可求函数g（x）的值域；
（2）由g（A）=12，可得sin（2A-

π

4

）=

2

2

，∠A是△ABC的最大内角，从而可求2A-

π

4

的范围，继而可求∠A．

解答：解：（1）∵f′（x）=2cosx-sinx…1分
∴g（x）=（2sinx+cosx）（2cosx-sinx+7sinx）
=10sin²x+10sinxcosx+2
=5

2

sin（2x-

π

4

）+7…4分
又x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴g（x）∈[2，7+5

2

]…8分
（2）g（A）=12⇒sin（2A-

π

4

）=

2

2

，…10分
∵∠A是△ABC的最大内角，∴A∈[

π

3

，π]，2A-

π

4

∈[

5π

12

，

7π

4

]，
∴2A-

π

4

=

3π

4

或

π

4

（舍），…13分
解得A=

π

2

…14分

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查正弦函数的定义域和值域，难点在于根据三角函数的值求角（要注意角的范围），属于中档题．