Question

将数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状.

(1)若数列{a_n}是首项为1,公差为2的等差数列,写出图中第5行第5个数;

(2)若函数f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ,且f(1)= n²,求数列{a_n}的通项公式;

(3)设T_m为第m行所有项的和,在(2)的条件下,用含m的代数式表示T_m.

Answer 1

解:(1)第5行第5个数是29.

(2)由f(1)=n²,得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n².

设S_n是数列{a_n}的前n项和,∴S_n=n².当n=1时,a₁=S₁=1,

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=n²-(n-1)²=2n-1.

又当n=1时,2n-1=1=a₁,∴a_n=2n-1,

即数列{a_n}的通项公式是a_n=2n-1(n=1,2,3,…).

(3)由(2)知数列{a_n}是首项为1,公差为2的等差数列.

∵前m-1行共有项1+2+3+…+(m-1)=×(m-1)=,

∴第m行的第一项为+1=2×(+1)-1=m²-m+1.

∴第m行构成首项为m²-m+1,公差为2的等差数列,且有m项.

∴T_m=(m²-m+1)×m+×2=m³.