Question

19．分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x}&{x＜0}\\{-{x}^{2}}&{x≥0}\end{array}\right.$，若f[f（a）]≤a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，把不等式f[f（a）]≤a转化为等价的不等式组，求出对应的解集即可．

解答 解：∵f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a，a＜0}\\{-{a}^{2}，a≥0}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a}^{2}+a＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜0；
由$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a}^{2}+a≥0}\end{array}\right.$，解得a≤-1；
∴f[f（a）]=$\left\{\begin{array}{l}{（{a}^{2}+a）^{2}+{a}^{2}+a，-1＜a＜0}\\{-（{a}^{2}+a）^{2}，a≤-1}\\{（-{a}^{2}）^{2}-{a}^{2}，a≥0}\end{array}\right.$；
∴f[f（a）]≤a，转化为以下不等式组：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}+2{a}^{3}+2{a}^{2}+a≤a}\\{-1＜a＜0}\end{array}\right.$，（2）$\left\{\begin{array}{l}{-（{a}^{2}+a）^{2}≤a}\\{a≤-1}\end{array}\right.$，（3）$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}-{a}^{2}≤a}\\{a≥0}\end{array}\right.$．
解（1）得a∈∅；
解（2）得a≤$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$；
解（3）得0≤a≤$\root{3}{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{23}{108}}}$+$\root{3}{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{23}{108}}}$；
综上，a的取值范围{a|a≤$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，或0≤a≤$\root{3}{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{23}{108}}}$+$\root{3}{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{23}{108}}}$}．

点评 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了等价转化思想，是综合性题目．