Question

10．$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}-1$），则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由数量积和模长公式分别可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$和|$\overrightarrow{a}$|以及|$\overrightarrow{b}$|的值，代入夹角公式可得夹角余弦值，可得夹角．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}-1$），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}+1$+$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}-1$）=4，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\sqrt{3}+1）^{2}+（\sqrt{3}-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{2×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{4}$
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查数量积与向量的夹角公式，涉及向量的模长公式，属基础题．