Question

14．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}$）n展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求展开式中x的二项式系数和项的系数．

Answer 1

分析 由二项式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，即可得2^n-1=256，解可得n=9，进而可得$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展开式的通项，由此可得展开式中x的二项式系数和项的系数．

解答 解：由二项式式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，得2^n-1=256，
即n=9，
则$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展开式的通项为T_r+1=C₉^r$（\sqrt{x}）^{9-r}（-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{r}$=（-2）^rC₉^r${x}^{\frac{27-7r}{6}}$．
由$\frac{27-7r}{6}=1$，解得：r=3．
∴展开式中含x的项是第4项，其二项式系数为${C}_{9}^{3}$=84，项的系数为$（-2）^{3}{C}_{9}^{3}$=-672．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是由题意中偶数项的二项式系数之和求出n值，是基础题．