Question

9．已知函数f（x）=log_a（x+2）+log_a（4-x），（0＜a＜1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，3]的最小值为-2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要使x+2＞0，4-x＞0同时成立即可；
（Ⅱ）先把f（x）化为f（x）=log_a（x+2）（4-x）（x∈[0，3]），再由二次函数性质及对数函数的单调性可求出f（x）的最小值，根据最小值为-2，列方程解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x+2＞0\\ 4-x＞0\end{array}\right.$得-2＜x＜4∴f（x）的定义域为（-2，4）；
（Ⅱ）f（x）=log_a（x+2）（4-x）（x∈[0，3]）
令t=（x+2）（4-x）=-（x-1）²+9
当0≤x≤3，
∴5≤t≤9．
当0＜a＜1则log_a9≤log_at≤log_a5，
∴f（x）_min=log_a9=-2${a^2}=\frac{1}{9}$．
又0＜a＜1，
∴$a=\frac{1}{3}$，
综上得$a=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．