Question

4．有两个命题，p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜a＜1．
对于命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．等价于?x∈R，ax²-x+a＞0．对a分类讨论，利用函数的图象与性质即可得出．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，即可得出．

解答 解：p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．等价于?x∈R，ax²-x+a＞0．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
（i）a=0   不成立．
（ii）a≠0 时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得$a＞\frac{1}{2}$，即q：a$＞\frac{1}{2}$．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0，或a≥1}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜a≤\frac{1}{2}$，或a≥1．
∴实数a的取值范围是$0＜a≤\frac{1}{2}$，或a≥1．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．