Question

16．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）（理科生做）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；
（Ⅲ）（文科生做）若PA=1，AD=2，求几何体E-BCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BD⊥PA，BD⊥PC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）（理科生做）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B-PC-A的正切值．
（Ⅲ）（文科生做）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出几何体E-BCD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，
∴BD⊥PC，
∵PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）（理科生做）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
 设AB=b，b＞0，则A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{PC}$=（b，2，-1），$\overrightarrow{DB}$=（b，-2，0），
∵PC⊥DB，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DB}$=b²-4=0，由b＞0，得b=2．
结合（1）得$\overrightarrow{DB}$=（2，-2，0）是平面APC的法向量．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BPC的法向量，
∵$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，2），
设二面角B-PC-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=3．
∴二面角B-PC-A的正切值为3．
（Ⅲ）（文科生做）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB=b，b＞0，则A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{PC}$=（b，2，-1），$\overrightarrow{DB}$=（b，-2，0），
∵PC⊥DB，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DB}$=b²-4=0，由b＞0，得b=2．
结合（1）得$\overrightarrow{DB}$=（2，-2，0）是平面APC的法向量．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BPC的法向量，
∵$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-1），
设E（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}$，0＜λ＜1，
即（x₁，y₁，z₁-1）=（2λ，2λ，-λ），∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2λ}\\{{y}_{1}=2λ}\\{{z}_{1}-1=-λ}\end{array}\right.$，即E（2λ，2λ，1-λ），
∴$\overrightarrow{BE}$=（2λ-2，2λ，1-λ），
∵PC⊥平面BDE，∴$\overrightarrow{BE}$$⊥\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{PC}$=2（2λ-2）+2•2λ+（-1）•（1-λ）=0，
解得$λ=\frac{5}{9}$，∴E到平面BDC的距离d=1-$\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$，
∴几何体E-BCD的体积V=$\frac{1}{3}d×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{4}{9}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{8}{27}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．