Question

20．已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=-1，数列{a_n}是以$\frac{π}{4}$为公差的等差数列．若f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{2}}$=2013．

Answer 1

分析 根据题意，求出f（x）的解析式，再求出a₂的值，从而求出$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{2}}$的值．

解答 解：∵f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=-1，
∴f（x）=2x-cosx；
又数列{a_n}是以$\frac{π}{4}$为公差的等差数列，
且f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，
∴2a₂-cosa₂+2（a₂+$\frac{π}{4}$）-cos（a₂+$\frac{π}{4}$）+2（a₂+$\frac{π}{2}$）-cos（a₂+$\frac{π}{2}$）
=6a₂+$\frac{3π}{2}$+（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）sina₂-（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）cosa₂=3π；
解得a₂=$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}+2012×d}{{a}_{2}}$
=$\frac{\frac{π}{4}+2012×\frac{π}{4}}{\frac{π}{4}}$
=2013．

点评 本题考查了导数的概念与应用问题，也考查了等差数列的通项公式的应用问题，考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．