Question

4．已知函数f（x）=x^m-$\frac{2}{x}$，且f（3）=$\frac{7}{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并判断函数f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入法求出m的值，求出f（x）的解析式，根据函数奇偶性的定义判断即可；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（3）=$\frac{7}{3}$，可知m=1，
所以函数的解析式为f（x）=x-$\frac{2}{x}$…（3分）
又因为函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
且f（-x）=（-x）-（-$\frac{2}{x}$）=-（x-$\frac{2}{x}$）=-f（x），由函数奇偶性定义可知，
函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$为奇函数…（6分）
（Ⅱ）证明：设x₁，x₂是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$），…（9分）
因为0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$在区间（0，+∞）是单调递增函数…（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，考查代入求值问题，是一道基础题．